请教下OPT extension pending阶段换工作的问题

我今年抽H1B， 但人品不行并没有抽中。专业STEM，所以申请了extension.
5/4 材料寄出
5/9 支票被cashed
5/16 收到receipt
我现在的EAD卡6/27号到期，刚收到一个不错的OFFER，要求我6/5号入职。
新公司是e-verify
请问下我现在是不是要向学校重新report我的雇主信息，重新issue新的I-20，再把新的材料补寄给USICS？
或者我可不可以先入职，等拿到我的新的EAD卡再向学校report?
目前这个进度估计我七月份之前应该是拿不到我的新EAD卡了吧。。。
有没有和我情况类似的小伙伴求分享下经验。谢谢了！