转学后规划

26fall陆本转学，现在大二国内某中末985机械专业在读，现在收到4个offer
1.University of Pittsburgh, Mechanical Engineering, 斯旺森学院，假如读这个的话大部分学分可以转，后面大三大四课相对较少，毕业可以拿国内和pitts的双学位
2.University of Minnesota Twin Cities, Mechanical Engineering, 这个类似，也是毕业后双学位，但课程似乎较多
3.UIUC, Math, 虽然可以转的学分较少，但如果就毕业而言，Math需要的学分较少，似乎也能两年内毕业，但没有现在这个学校的学位证
4.UW Madison, CS, 进去可以double math, 也是没有现在这个学校的学位证
在学了一年半ME后，感觉我确实不太喜欢这专业，所以我偏向于换专业，即使要放弃现在的学位。我的规划是，在UW Madison读三年，double major CS and Math, 通过暑假online课程过掉通识，春和秋学期想办法做Reading Project和Research，然后申PhD。
我的问题是：
1.UW Madison Math和CS方面的科研机会是否充足？
2.通过上网课来过通识这个方式有无风险？有什么机构推荐？
3.数学申请博士大概需要多少科研经历和成果？以UWMadison或类似水平的大学为例。
由于我几乎不认识有留学经验的人，尤其是Math相关的，所以向大家求助。除了这些问题外，希望大家能对我的规划给出一些建议和批评，谢谢。