L1B签来美半年，该怎么留下来

如题，去年9月持L1B的签证，即跨国公司特殊人才签来美。最长可在美国工作5年。
一家3口都一起来的，孩子上学也刚开始适应，觉得将来如果可以留下来是最好的。
因为现在的公司（日企制造业）不支持办绿卡，是不是只能到期后找到别的公司提供H1B签证这一条路可行了呢？

第一次发帖，希望各位海涵并留下宝贵意见。

补充内容 (2024-02-07 22:58 +08:00):
感谢大家给的意见，都很有价值。自己补充点背景信息，楼主一家是在日本定居，然后半年前公司的外派为契机，持L1B入境的。公司是标准传统日本制造厂，文化比较腐朽，从未给外派人员办过H1B或者绿卡，所以应该不会为我改变。